0,999...

0 ile sonsuza kadar devreden 9'lardan oluşan 0,99999... sayısı

$0,{\underline {9}}$, $0,{\bar {9}}$ veya $0,{\dot {9}}$ şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:

Cebirsel ispatlar

Devirli Ondalık Sayılardan

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

${\frac {5}{9}}=0,{\bar {5}}$

${\frac {1}{3}}=0,{\bar {3}}$ gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

${\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}$

$1=0,{\bar {9}}$ elde ederiz.

Dört İşlemden

0.(9) sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

$x=0,{\bar {9}}$

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

$10x=9,{\bar {9}}$

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

$9x=10x-x=9,{\bar {9}}-0,{\bar {9}}=9$

Sadeleştirelim.

$x=1{\underline {}}$

Limitten

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)$

n sonsuza giderken ${\frac {1}{10^{n}}}$ ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

$=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,$ dir.

Sonsuz Serilerden

Teorem:$|r|<1$ ve a sabit sayı olmak üzere $ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}$ dir.

Genel terimi $r=\textstyle {\frac {1}{10}}$ ve sabit sayısı 9 olan seri 0.(9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

$0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,$ olduğunu görebiliriz.

Dış bağlantılar

• Why does 0.9999… = 1 ? (İng. neden 0.(9)=1 ?
• 0.999...=1 bir kanıt daha