0.999...

Onluq kəsrdə 9 rəqəmi onluq kəsr sonsuza kimi təkrarlanır.

Riyaziyyatda 0.999... (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9-dan ibarətdir. 0.999... ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür. Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 ..." və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyi riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Cəbri isbatlar

Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq rəqəmlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\frac {5}{9}}=0,{\bar {5}}$

${\frac {1}{3}}=0,{\bar {3}}$ kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}$

$1=0,{\bar {9}}$ bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

$0.(9)$ ədədinə riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən $x$ deyək.

$x=0,{\bar {9}}$

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

$10x=9,{\bar {9}}$

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni $x$-i tapaq

$9x=10x-x=9,{\bar {9}}-0,{\bar {9}}=9$

Sadələşdirək.

$x=1$

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)$

$n$ sonsuza yaxınlaşarkən ${\frac {1}{10^{n}}}$ ifadəsi $0$-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

$=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,$ dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:$|r|<1$ və $a$ sabit ədəd olmaq üzrə $ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}$-dir.

Ümumi termini $r=\textstyle {\frac {1}{10}}$ və sabit ədədi $9$ olan ardıcıllıq $0.(9)$-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

$0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1$ olduğunu görə bilərik.