Varianza

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In statistica e in teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria $X$ è una funzione, indicata con $\sigma _{X}^{2}$ o con $\mathrm {Var} (X)$ (o semplicemente con $\sigma ^{2}$ se la variabile è sottintesa), che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile stessa; nello specifico, la misura di quanto essi si discostino quadraticamente rispettivamente dalla media aritmetica o dal valore atteso $\mathbb {E} [X]$.

Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson.

Probabilità

Definizione

La varianza della variabile aleatoria $X$ è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata $X-\mathbb {E} [X]$

$\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}{\Big ]}.$

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

$P{\Big (}{\big |}X-\mathbb {E} [X]{\big |}\geqslant \lambda \sigma _{X}{\Big )}\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2}}},$

dove $\sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}$

Proprietà

Segno della varianza

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore $x_{0}$, cioè se $P(X=x_{0})=1$.

Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremali della distribuzione

Dato un insieme di $n$ unità statistiche, dove $\mathrm {min}$ e $\mathrm {max}$ sono i valori massimo e minimo tra le unità, il massimo valore che può assumere la varianza è uguale a

$\sigma _{\mathrm {max} }^{2}={\frac {(\mathrm {max} -\mathrm {min} )^{2}}{4}}.$

Se delle osservazioni si conosce soltanto la media $\mu$, il valore è uguale a

$\sigma _{\mathrm {max} }^{2}=\mu ^{2}(n-1).$

Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore atteso

Una formula alternativa per la varianza è

$\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\$

Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.

Dimostrazione
La varianza di $X$ è per definizione pari al valore atteso di $(X-\mathbb {E} [X])^{2}=X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\$: per la linearità del valore atteso si ottiene $\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\$.

Invarianza per traslazione

La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

$\sigma _{aX+b}^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}\$

Dimostrazione
Sfruttando la linearità del valore atteso si trova $(aX+b)-\mathbb {E} [aX+b]=aX+b-a\mathbb {E} [X]-b=a(X-\mathbb {E} [X]),$ quindi $\sigma _{aX+b}^{2}=\mathbb {E} [a^{2}(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=a^{2}\sigma _{X}^{2}.$

Varianza della somma di due variabili indipendenti

La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

$\sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.$

Dimostrazione

Se $\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]=0$, allora $\mathbb {E} [XY]=0$ e $\sigma _{X+Y}^{2}=\mathbb {E} [(X+Y)^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]+2\mathbb {E} [XY]+\mathbb {E} [Y^{2}]=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\mathbb {E} [XY],$ e siccome le variabili sono indipendenti risulta $\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=0.$ Nel caso generale basta traslare le variabili di modo che abbiano valore atteso nullo (come $X'=X-\mathbb {E} [X]$); la loro varianza non cambia.

Varianza della differenza di due variabili indipendenti

Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

$\sigma _{X-Y}^{2}=\sigma _{X+(-Y)}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{-Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.$

Varianza della somma di due variabili non indipendenti

Se $X$ e $Y$ non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

$\sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X,Y},$

dove

$\sigma _{X,Y}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$

Varianza della media aritmetica di variabili indipendenti

In particolare, la media aritmetica $\textstyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

$\sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sigma _{X_{1}+\ldots +X_{n}}^{2}={\frac {1}{n}}\sigma _{X_{1}}^{2}.$

Variabili aleatorie discrete e continue

La varianza di una variabile aleatoria discreta $X$ a valori in un insieme $A$ si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

$\mathbb {E} [X]=\sum _{x\in A}xP(X=x)$

$\sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}P(X=x).$

La varianza di una variabile aleatoria continua $X$ a valori in un insieme $A$ si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

$\mathbb {E} [X]=\int _{A}xf(x)dx$

$\sigma _{X}^{2}=\int _{A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx.$

Esempio

Una variabile aleatoria di Bernoulli $X$, cioè che ha probabilità $p$ di fornire "1" e probabilità $q=1-p$ di fornire "0", ha valore atteso

$\mathbb {E} [X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1)=p,$

e la sua varianza può essere calcolata come

$\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [(X-p)^{2}]=p^{2}P(X=0)+q^{2}P(X=1)=pq(p+q)=pq,$

oppure come

$\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=P(X=1)-p^{2}=p(1-p)=pq.$

Statistica

In statistica la varianza è un indice di variabilità. Data una distribuzione di un carattere quantitativo $X$ su una popolazione di $n$ elementi, la varianza è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media

$\sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-\mu _{X})^{2}}{n}},$

dove $\textstyle \mu _{X}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}$ è la media aritmetica di $X$.

In statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo) $\sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}$. Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come $\sigma ^{2}$.

Stimatori

In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità $n$:

$S_{n}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}\quad$ e $\quad S_{n-1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},$

dove $\textstyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}$ è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria, mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza. Infatti lo stimatore $S_{n-1}^{2}$ è privo di distorsione, cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:

$\mathbb {E} [S_{n-1}^{2}]=\sigma ^{2}(X)$.

Dimostrazione

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } [S_{n-1}^{2}]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}~-~{\overline {x}})^{2}\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}~-~2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2n{\overline {x}}^{2}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~{\frac {n}{n-1}}{\overline {x}}^{2}\right]\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(\sum \operatorname {\mathbb {E} } [x_{i}^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(n\operatorname {\mathbb {E} } [x^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\operatorname {\mathbb {E} } [x]^{2}~-~\sigma ^{2}({\overline {x}})-\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}]^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\mu ^{2}~-~{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}(x)-\mu ^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left({\frac {n-1}{n}}~\sigma ^{2}(x)\right)\\[8pt]&=\sigma ^{2}.\end{aligned}}$

Al contrario, lo stimatore $S_{n}^{2}$ ha un valore atteso diverso dalla varianza, $\mathbb {E} [S_{n}^{2}]=\textstyle {\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}(X)$.

Una spiegazione del termine $n-1$ è data dalla necessità di stimare anche la media che per il teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore $S_{n}^{2}$ diventa corretto. Questa è detta "correzione di Bessel".

Se le $X_{i}$ sono variabili aleatorie normali $N(\mu ,\sigma )$, lo stimatore $S_{n-1}^{2}$ è una variabile aleatoria con distribuzione $\chi ^{2}$.

Esempio

Il campione di $n=5$ elementi $\{-4,-1,1,2,7\}$ ha media campionaria pari a:

${\bar {x}}={\frac {-4-1+1+2+7}{5}}=1$

e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente

$S_{n}^{2}={\frac {(-4-1)^{2}+(-1-1)^{2}+(1-1)^{2}+(2-1)^{2}+(7-1)^{2}}{5}}={\frac {25+4+0+1+36}{5}}={\frac {66}{5}}=13,2$

e

$S_{n-1}^{2}={\frac {66}{5-1}}=16,5.$

Voci correlate

• Covarianza (probabilità)
• Legge della varianza totale
• Deviazione standard
• Valore atteso
• Variabili dipendenti e indipendenti
• Formula computazionale per la varianza
• Algoritmi per il calcolo della varianza

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Collegamenti esterni

• (EN) IUPAC Gold Book, "variance", su goldbook.iupac.org.
• Varianza, in Thesaurus del Nuovo soggettario, BNCF.

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