کوواریانس

در نظریه احتمالات کواریانس یا هم‌وردایی (به انگلیسی: Covariance)، اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها $\scriptstyle E(X)=\mu \,$ و $\scriptstyle E(Y)=\nu \,$ هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))\,$

چنان‌که دو متغیر تصادفی مستقل باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.

خواص کواریانس

اگر $X,Y,W,V$ متغیرهای تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و $a,b,c,d$ اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:

$\operatorname {Cov} (X,a)=0\,$

$\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,$

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,$

$\operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,$

$\operatorname {Cov} (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov} (X,Y)\,$

$\operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,$

می‌توانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه‌ای برای محاسبهٔ آن پیدا کنیم

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y))\right)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)$

ناهمبستگی و استقلال

اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده می‌شوند. اگر دو متغیر تصادفی $X,Y$ مستقل باشند آنگاه کواریانس آنها صفر است. این موضوع را می‌توان به این صورت نتیجه گرفت:

چون $\operatorname {E} (X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y).$

$\operatorname {Cov} (X,Y)=0\,$

عکس این موضوع صحیح نیست، یعنی ممکن است کواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد ولی آن دو متغیر تصادفی مستقل نباشند.

ماتریس کوواریانس

اگر X را ۱*n و Y را m*۱ در نظر بگیریم آنگاه:
'[Cov(X,Y) = E[(X -E[X])(Y - E[Y])'] =E[X Y'] - E[X]E[Y
به گونه‌ای که عضو i،j برابر هم وردای (کواریانس)iامین عضو X و j امین عضو Y می‌باشد.

واژه شناسی

فرهنگستان زبان فارسی، وردیدن از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to varry برگزیده است و از این فعل مشتقات وردایی(variance)،وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، هم وردایی(covariannce)، ناوردا(invariant)، ناوردایی(invariance)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

جستارهای وابسته

• امیدریاضی
• واریانس

منابع

• سعید رضاخواه. آمار و احتمال کاربردی. چاپ اول اسغند ۱۳۷۹. انتشارات دانشگاه امیر کبیر. ۷۷. ISBN 964-463-091-2 (کتابخانه ملی: م۷۹–۲۰۶۷۴). 
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Covariance». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۰ آوریل ۲۰۰۹.