עד כדי קבוע

אתחיל הפעם מהסוף.

התבוננו נא בתמונה המפוצלת הבאה מצד ימין:

מצד ימין ניתן לראות שאלה מצולמת מספר הלימוד של עדי רוזן בנושא אופטיקה גיאומטרית. השאלה הופיעה במקור באחת מבחינות הבגרות בפיזיקה בשנות ה-90. בשאלה מתואר מקל (פס שחור) מונח בתחתית בריכה עם מים. אחת השאלות על התרחיש היא האם המקל נראה לאדם שמביט מלמעלה הוא ארוך או קצר יותר ממה שהוא באמת.

השאלה אולי לא לגמרי ברורה או לא מוגדרת היטב למי שלא למד את הנושא. למה הכוונה ‘ארוך או קצר יותר ממה שהוא באמת"? למה הכוונה באיך המקל נראה? אבל במקום להתפלפל בניסוחים הביטו נא בתמונה השמאלית. שני סרגלים זהים הונחו זה לצד זה בתחתית של שני מיכלי פלסטיק זהים. המיכל הימני מלא במים בעוד שבמיכל השמאלי אין מים. שני הקצוות ההתחלתיים של שני הסרגלים מוקמו באותה נקודה במקביל אחד לשני. התמונה צולמה על ידי טלפון שמוקם כך שמיקום וכיוון העינית של המצלמה מדמה את כיוון ומיקום העין של האדם באיור הימני ביחס לקצהו של המקל השחור.

כעת קל לראות את התשובה. רואים בבירור שהסרגל הימני, שטבול במים, נראה ארוך יותר מהסרגל השמאלי שאינו טבול, למרות שאנו יודעים שאורך שני הסרגלים זהה.

מדוע זה קורה?

התשובה לשאלה טמונה בכך שהאור ‘נשבר’. לכן לפני שאוכל להסביר מדוע סרגל אחד נראה ארוך יותר אסביר בקצרה את התופעה שנקראת ‘שבירה של אור’.

שבירה של אור

מסתבר שבסיטואציות שאנו חווים ביום-יום ניתן להניח שאור, שהוא תופעה מורכבת מאוד, נע לאורך קווים ישרים. תוכלו לבדוק זאת בעצמכם למשל על ידי משחק באור וצל. קחו מקור אור (למשל פנס) וכוונו אותו על מסך (למשל דף לבן או הקיר). בין מקור האור למסך הניחו לוח שחוסם חלק מהאור (למשל קוביית נייר).

אם גודל מקור האור קטן באופן משמעותי מגודל המחסום ומהמרחק אליו נוכל לצייר אותו כמקור שנובע מנקודה – ‘מקור נקודתי’. ממקור זה יוצא אור לכל הכיוונים. אם נניח שהאור נע בקווים ישרים נוכל לשרטט את הקווים שיוצאים מהמקור ושעוברים ממש ליד קצות המחסום. נמשיך קווים אלה באותו כיוון אל המסך. התחזית היא שאלה יהיו הגבולות בין אזור מואר (יש אור) לאזור צל (אין אור).

אם אור אכן נע בקווים ישרים ברוב המקרים שמעניינים אותנו, נוכל לתאר כל אלומה של אור על ידי אסופה של קווים ישרים. כמה קווים? כמה שנוח לנו. האם אלומת אור באמת מורכבת מקווים ישרים בדידים? לא, אבל אם האור נע לאורך קווים ישרים תהיה זאת דרך יעילה ופשוטה מאוד לתאר תופעות מורכבות. אם כן, מעכשיו נתאר אלומות של אור על ידי חצים ישרים, או בעגה: "קרניים" (מכאן "אופטיקת קרניים").

שבירת אור היא מצב שבו האור, שנע בקו ישר, משנה בנקודה מסוימת במרחב את כיוונו לקו ישר אחר הנבדל ממנו בזווית כלשהי. דבר זה קורה כאשר האור עובר מתווך שקוף אחד לתווך שקוף אחר, למשל מאוויר למים או ממים לאוויר. החוקיות שמתארת את שינוי הזווית בכיוונו של האור נקראת ‘חוק סנל’ (Snell) ואני לא אכנס אליה במובן המתמטי, אלא אדלג ישר למהות דרך התמונה הבאה:

מקור התמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש ajizai.

בתמונה ניתן לראות אלומת אור צרה (שמדמה קרן אור) שנעה באוויר, נכנסת לתוך פיסת זכוכית או פרספקס (סוג של פלסטיק שקוף) ואז יוצאת חזרה לאוויר. ניתן לראות שבכל נקודת מעבר בים תווך אחד לשני יש שינוי בכיוון האור.

נבחר לשרטט אנך למשטח הגבול בין החומרים השונים בנקודות הפגיעה של קרן האור. נמדוד זווית כניסה\פגיעה וזווית יציאה/שבירה ביחס לאנך הזה. נשים לב שכאשר האור עובר מהאוויר לזכוכית זווית השבירה קטנה מזווית הפגיעה. כאשר המעבר הוא הפוך גם התוצאה הפוכה. כאשר האור עובר מזכוכית לאוויר זווית השבירה גדולה מזווית הפגיעה. אם כך, אנו מצפים שכאשר אור יוצא ממים לאוויר זווית השבירה תהיה גדולה מזווית הפגיעה. תוצאות אלה מתוארות באופן מתמטי על ידי חוק סנל שהזכרתי קודם.

אורך מדומה

כעת נאסוף את כל פרטי המידע האלה ונבחן שוב את התרחיש שהוצג בתמונה הראשונה של מקל טבול במים ואדם מתבונן בו מלמעלה.

עובדה אחת על העין והראיה שהיא חשובה לעניין זה היא שהעין והמוח טובים בלפענח מהו הכיוון שממנו הגיע האור אל העין, אבל העין/מוח לא באמת תופסים את חוק השבירה של סנל גם אם האדם שהם חלק ממנו למד את החוקים בבית הספר ונבחן עליהם.

נדמיין קרן אור (צהובה באיור) שיוצאת המקצה המרוחק של המקל הטבול במים (קו סגול בתחתית האיור). קרן האור נשברת במעבר בין המים לאוויר ולכן זווית השבירה גדולה מזווית הפגיעה. כדי שנוכל לראות את קצה המקל קרן אור זאת חייבת להגיע אל העין לאחר השבירה. העין/מוח מפענחים את הכיוון שממנו הגיע האור אך אינם לוקחים בחשבון שהתרחשה שבירה בכיוון תנועתו. לכן הם מניחים שהגיע מכיוון הקו המקווקו הצהוב שסימנתי, המתויג בציור כ-”המשך דמיוני של הקרן". כעת ניתן לראות שנקודת הקצה הדמיונית של המקל נראית לצופה רחוקה יותר ממה שהיא באמת ומכאן ניתן להסיק שהמקל נראה ארוך יותר ממה שהוא באמת. ניתן גם לחשב את אורכו המדומה באמצעות גיאומטריה אם רוצים.

בואו ונבחן את עצמנו בתרחיש דומה ואף מוכר יותר.

עומק מדומה

התבוננו נא בתמונות הבאות הממחישות תופעה שאתם מכירים מחיי היום-יום:

הנחתי שני מטבעות של חמישה שקלים בתחתית של כוסות זהות. את אחת הכוסות מילאתי במים ואת השניה השארתי ריקה. ניתן לראות שלצופה מבחוץ המתבונן פנימה בצורה אנכית מלמעלה המטבע הטבול במים נראה בעומק קטן יותר (רדוד יותר, עמוק פחות) ממה שהוא באמת בהשוואה למטבע שאינו טבול במיל ובעזרתו ניתן לראות מה המרחק/עומק האמיתי.

האם תוכלו להסביר לעצמכם תופעה זאת באמצעות העקרונות שהוזכרו ברשימה זאת?

רמז/הנחייה: שרטטו מספר קרניים שיוצאות מהעצם (עשו אותו נקודתי לשם פשטות) ונשברות החוצה מהמים. הקפידו על כך שזווית השבירה גדולה מזווית הפגיעה. חיתוך המשכי הקרניים הדמיוניות מצביע על מיקום הדמות שאותה נראה.

ואגב, האם יש קרניים שזווית הפגיעה שלהן כזאת כך שזווית השבירה שלהם כל כך גדולה כך שהאור לא יוצא מהמים? במילים אחרות, האם יש זווית שבה נביט לפני המים ולא נראה את המטבע כלל? נקודה למחשבה. (למתעניינים, מוזמנים לקרוא על המושג "זווית קריטית").

אתחיל הפעם משאלה תאורטית למדי ואחרי שנבין אותה אקשר לתופעה פיזיקלית חשובה שקשורה אפילו ליום יום שלנו.

חלקיקים דוחים בקופסה

מה יקרה אם נניח במנוחה (ללא מהירות) שני חלקיקים שדוחים אחד את השני, או במילים אחרות מפעילים אחד על השני כוחות דחייה, וסגורים בתוך עיגול שממנו אינם יכולים לצאת? נניח שכוח הדחייה הוא תלוי מרחק בין החלקיקים, כלומר קטן ככל שהמרחק גדל.

הגיוני לחשוב שהחלקיקים יחלו לנוע ולהתרחק אחד מהשני בכיוונים מנוגדים על הקו שמחבר ביניהם. כשיגיעו לקצה העיגול הדופן לא תאפשר להם להמשיך לנוע. האם יעצרו? תלוי בסוג הדופן.

נניח שהתנגשות עם הדופן היא אלסטית, כלומר משמרת אנרגיה, ולכן חלקיק שפוגע בדופן יחזור חזרה באותה מהירות ובאותה זווית, אבל בכיוון הפוך ביחס לאנך לדופן. זה מה שכדור ביליארד עושה בד"כ כאשר הוא פוגע בדופן השולחן. לכן זווית הפגיעה שלו שווה לזווית ההחזרה. בנוסף, נניח שיש חיכוך שתלוי במהירות, כך שהחלקיקים מאבדים מהירות לאורך זמן ויכולים להגיע למצב מנוחה. זה ישתלם לנו בהמשך. חיכוך שתלוי במהירות הוא חיכוך שמפריע לתנועה בעוצמה שתלויה בגודל המהירות. ככל שהמהירות גבוהה יותר, כוח החיכוך גדול יותר. תופעה זאת דומה למה שאתם חשים כאשר אתם מנסים ללכת בתוך בריכת מים. ככל שאתם מנסים ללכת מהר יותר כך המים מפריעים יותר. דומה גם לתופעת ‘כוח הגרר’ על מכוניות ומטוסים.

אם שני החלקיקים מוקמו בהתחלה על קו שהוא קוטר במעגל (כלומר עובר דרך נקודת המרכז) סביר שיעצרו אחרי שהגיעו לדופן כי הם במרחק המקסימלי האפשרי בתוך המעגל אחד מהשני. אם הם לא הונחו על קו קוטר סביר שהם יחליקו על הדופן עד שיגיעו למרחק מקסימלי. עם זאת, אלא אם מוקמו על קו קוטר, קשה לנחש מראש מה הנקודות המדויקות שבהן יעצרו החלקיקים.

ומה אם נשים שלושה חלקיקים במנוחה בתוך עיגול? סביר שיתרחקו אחד מהשני עד לדופן וייתמקמו על שלוש נקודות בזוויות של 120 מעלות על היקף העיגול, לא? אלה המרחקים המקסימליים לשלושה חלקיקים בתוך עיגול. את המיקומים המדויקים קשה מאוד לחזות. זה תלוי בתנאי ההתחלה.

ומה לגבי חמישים חלקיקים? ומה לגבי זיליון חלקיקים? האם ההיגיון של שניים ושלושה חלקיקים עדיין תקף? ברור שאי אפשר לפתור פיזיקלית עבור כל חלקיק בנפרד לקבלת התמונה המלאה, אבל כן ניתן להשתמש בחוקים פיזיקליים כדי להסיק את הפיזור הכללי (לדוברי השפה – באמצעות ‘חוק גאוס’ למשל).

סימולציה

אבל אני בחרתי לעשות זאת בדרך אחרת. בדרך שנקראת ‘פתרון נומרי’. בחרתי לכתוב תוכנת סימולציה שלא יודעת מה יהיה הפתרון בסוף אבל יודעת להתקדם אליו עקב בצד אגודל. בכל שלב התוכנה סוכמת את כל הכוחות שמפעילים החלקיקים על חלקיק אחד בתוך עיגול (גודל וכיוון) וממירה כוח שקול זה לתאוצה על ידי שימוש בחוק השני של ניוטון. התוכנה מניחה שזמן הפתרון בשלב זה קצר מספיק כך שניתן להניח בקירוב שתאוצה קבועה ומשתמשת בנוסחאות פיזיקליות פשוטות (קינמטיקה) לחשב את מיקומו ומהירותו של החלקיק בסוף פרק הזמן הקצר הזה. התוכנה חוזרת על פעולה זאת עבור כל החלקיקים בעיגול. בסוף השלב הראשון ידועים כל המיקומים והמהירויות של כל החלקיקים לאחר פרק הזמן הקצר שבחרנו. כעת התוכנה חוזרת בדיוק על אותן פעולות עבור המיקומים החדשים והמהירויות החדשות. ושוב, ושוב, ושוב, עד שכותב התוכנה אומר שמספיק ודי. רצף הפעולות שתיארתי אינו אפשרי עבור בני אדם אבל הוא בדיוק הדבר שבשבילו נולד המחשב. גולם שיודע לבצע מלנתלפים פעולות חישוב ברצף, מהר, בלי להתעייף, בלי להתלונן ובלי לבצע טעויות. סימולציות הן כלי חזק מאוד בפיזיקה מכיוון שרוב הבעיות הרב-גופיות אינן פתירות אנליטית (כלומר על ידי משוואות שפתרונן המתמטי נותן תחזית לכל רגע בזמן בביטוי מתמטי אחד סגור).

ומה יוצא?

ראו גיפ\סרטון קצר:

התוצאות מדברות בעד עצמן. החלקיקים אכן נדחים לקצוות ומסתדרים לאורך דופן העיגול במרחקים שווים אחד מהשני. אבל שימו לב לתופעה נוספת. יש חלקיק אחרון שנמצא באופן אקראי באזור המרכז ונע לאיטו לכיוון הדופן. כאשר כל החלקיקים מפוזרים בדפנות הכוח שהם יפעילו על חלקיק בתוך העיגול הוא אפס. בעגה המקצועית נאמר שהשדה בתוך העיגול הוא אפס. למעשה ניתן לתאר את הבעיה הזאת כך שחלקיקים יסתדרו בתוך העיגול כך שהשדה בתוכו יהיה אפס.

ומה יקרה אם הצורה אינה סימטרית מושלמת כמו עיגול, אלא מכילה אנאיזוטרופיה (שונה בכיוונים שונים) כמו מלבן או משולש? עדיין החלקיקים יתמקמו כך שהשדה החשמלי בכל נקודה בצורה יהיה אפס. זה אומר למשל שבצלעות ארוכות צפיפות החלקיקים תהיה נמוכה מזו שבצלעות קצרות, ושבאזורים בהם יש שפיצים ופינות יהיה ריכוז חלקיקים גבוה יותר.

דוגמה לתוצאה במלבן:

דוגמה לתוצאה במשולש:

מה זה קשור לפיזיקה ולמה זה מעניין?

בתוך גוף מוליך חשמלית האלקטרונים לא קשורים חזק לאטום וחופשיים לנוע, אך לא לצאת ממנו. האלקטרונים נושאים מטען חשמלי שלילי ולכן דוחים אחד את השני בכוח חשמלי שתלוי במרחק ביניהם.

מסתבר גם שבתוך גוף מוליך השדה החשמלי תמיד אפס. ומסתבר גם שאם קיימים בגוף מוליך מטענים עודפים, כלומר כאלה שהגיעו מחוץ לגוף ואינם מזווגים עם חלקיקים במטען הפוך, הם יסתדרו על הדפנות של הגוף בצורה כזאת שהשדה בתוך המוליך עדיין יהיה אפס.

ועכשיו אנחנו יודעים למה.

ומה יקרה אם יופעל על הגוף שדה חשמלי חיצוני, למשל מגוף טעון אחר?

ראו תוצאות:

כלומר, החלקיקים מתארגנים מחדש כך שהשדה החשמלי בתוך העיגול עדיין יהיה אפס. הם בעצם מייצרים שדה חשמלי בעצמם שסותר בכל נקודה בתוך העיגול את השדה החיצוני.

אם כך, בגלל תכונות האלקטרונים במוליך לא יתכן שדה חשמלי בתוכו. דבר זה יהיה נכון גם אם לא מדובר בכדור מלא אלא רק בקליפה מוליכה בצורת כדור, כלומר כדור מוליך חלול. התוצאה זהה מכיוון שממילא בשני המקרים המטענים נמצאים רק בדפנות ולכן לתוכן הכדור אין משמעות חשמלית.

כעת תוכלו לבצע ניסוי משעשע בבית אם תרצו.

קחו שני טלפונים סלולריים וודאו שניתן להתקשר מאחד לשני (ממליץ אות סלולרי ולא ווי-פיי במיוחד אם אתם קרובים לראוטר והאות שלו חזק). כעת עטפו את אחד המכשירים כמו מתנה, מכל הכיוונים, בהרבה שכבות של רדיד אלומיניום סתמי מהמטבח ונסו שוב להתקשר אליו. רוב הסיכויים שהוא לא יהיה זמין ותקבלו הודעה שהמנוי מנותק מהרשת. בעצם הדגמתם סוג של ‘כלוב פאראדיי’. האות הסלולרי מורכב משדות אלקטרומגנטיים שמכילים גם שדות חשמליים והם מבוטלים על ידי המעטפת המוליכה. מכיוון שמדובר בשדות משתנים בזמן ואינם שדות ‘אלקטרוסטטיים’ קבועים, הם כן יכולים לחדור מוליך לעומק מסוים. לכן צריך שיהיה עובי מספיק כדי לקבל את החסימה.

כעת אתם גם יכולים להבין מדוע בקומדיות אמריקאיות יש לפעמים דמויות שחושבות שיוכלו לחסום שדרים מזיקים מחייזרים, למשל, על ידי עטיפת ראשם בכובע מרדיד אלומיניום.

הפעם אני רוצה להציג חידה שכתבתי ובניתי בנושא מעגלי זרם.

הקופסה בה מורכבת החידה בנויה בסגנון של כספת שצריך לפתוח על ידי מציאת הפתרון. למרות זאת, אין באמת צורך בקופסה עצמה כדי להציג את החידה או כדי לפתור אותה. הקופסה נבנתה רק כדי להציג את החידה באופן מוחשי, לפתות את הקהל לפתור אותה וכדי לעזור לפותרים לבדוק האם הפתרון שלהם נכון.

רמז 1 – החידה לא מצריכה מספרים או חישובים, אלא ידיעת 'חוק אוהם' (הקשר בין מתח, זרם והתנגדות חשמלית) ומהי ההתנגדות השקולה בחיבור טורי ומקבילי של נגדים.

החידה:

נתון המעגל החשמלי הבא (מצולם מהפנל העליון של קופסת החידה):

נתרכז במעגל עצמו ולא בכפתורי ההפעלה ונורות הבקרה מכיוון שהקופסה אינה נגישה לקוראים של רשימה זאת.

במעגל ישנם 8 נגדים זהים (מסומנים בזיגזג) מחוברים דרך 5 נקודות צומת (האדומות בתמונה). השמות שנתתי לכל נגד מורכבים מהאות R, כי כך נהוג לסמן התנגדות חשמלית, ושני מספרים שקשורים לשני הצמתים שלהם הנגד מחובר. בין כל שני צמתים ניתן להתחבר עם מד התנגדות חשמלית. ליד כל נגד מחובר בטור מפסק (הכפתורים הכחולים בתמונה) שעל ידי לחיצה עליו ניתן לעבור ממצב שהוא סגור, כלומר מעביר זרם כמו כל חוט מוליך רגיל, או פתוח, כלומר לא מעביר זרם כמו חוט קרוע. אם המפסק פתוח ולא זורם דרכו זרם חשמלי המצב שקול לכך שהנגד לא קיים (מנותק לחלוטין מהמעגל).

לא ניתן לדעת מהתבוננות במפסקים האם הם פתוחים או סגורים מכיוון שהלחמתי אותם באופן אקראי. חלקם סגורים כאשר הכפתור לחוץ פנימה וחלקם כאשר הכפתור לחוץ החוצה.

את החידה מתחילים במצב אקראי של המפסקים. חלקם פתוחים וחלקם סגורים ולא ניתן לדעת מי פתוח ומי סגור.

מותר למדוד התנגדות בין כל שני נקודות צומת כמה פעמים שרוצים.

מותר לשנות את מצב המפסקים כמה פעמים שרוצים.

המטרה:

האם תוכלו לחשוב על אלגוריתם, שאינו תלוי במצב ההתחלתי של המפסקים, ושבסופו כל המפסקים יהיו סגורים?

רמז 2 – במצב שבו כל המפסקים סגורים אין במעגל שני נגדים שמחוברים בטור או במקביל אחד לשני.

רמז 3 – במצב שבו כל המפסקים סגורים ואנו מודדים את ההתנגדות החשמלית בין נקודות 1 ו-2, למשל, מה תהיה קריאת המד? שימו לב שהקריאה לא תהיה R₁₂!

מוזמנים לשתף רעיונות בתגובות. קחו בחשבון שאני לא אכתוב פתרון וגם לא אאשר ולא אשלול פתרונות שלכם\ן כדי לא לקלקל.

לאחרונה התפרסם בערוץ היוטיוב בנושאי מדע veritasium הסרטון הזה (ונדחף על ידי האלגוריתם ללא הפסקה, לפחות בפיד שלי):

בשליש הראשון של הסרטון מוצגת סוג של חידה מתמטית-פיזיקלית פשוטה עם תוצאה מפתיעה. בשליש השני מוצגים הסברים מדוע הפתרון המפתיע הוא הנכון. בשליש השלישי מוצג הקשר של החידה למדידת זמן ותנועת גרמי שמיים.

ממליץ לצפות בסרטון. לא חובה.

בחלק הראשון של רשימה זאת אציג בקצרה את החידה ואת פתרונה רק לשם רקע והקשר למי שאין סבלנות לסרטונים.

בחלק השני אציג המחשה שבניתי כדי להפוך את הפתרון הלא צפוי ממופשט למוחשי. מוזמנים לשתף אותי אם הצלחתי או לא.

החידה

עיגול קטן מתגלגל ללא החלקה על שפתו של עיגול גדול שמקובע למקום ואינו יכול לנוע, להתגלגל או להסתובב אלא רק משמש כמשטח.

השאלה: כמה סיבובים סביב עצמו יבצע העיגול הקטן במהלך תנועתו על פני העיגול הגדול כדי לחזור למקומו ההתחלתי אם נתון שרדיוס הכדור הגדול גדול פי 3 מרדיוס הכדור הקטן. ראו איור.

לפני הפתרון מעט הסברים.

מהו גלגול ללא החלקה? כאשר אנו נוסעים במכונית, בכל רגע נתון יש חלק של הצמיג שמעוגן לקרקע דרך חיכוך. דבר זה מאפשר לקרקע להפעיל כוח על המכונית ולדחוף אותה אם המכונית בתאוצה למשל. הכוונה היא שכל מולקולה בתחתית הצמיג שכרגע נוגעת בקרקע נדבקת אליו לרגע קט, הגלגל מסתובב ואז המולקולה מנתקת מגע והמולקולה הבאה על היקף הצמיג נדבקת, וכך הלאה. להמחשה דמיינו את תנועת הזחל של טנק או נגמ"ש. אם כך, כל סיבוב מלא של הגלגל סביב עצמו מקדם את המכונית במרחק ששווה להיקף הגלגל (ששווה ל-2π·R, כאשר R הוא רדיוס הצמיג).

אם כך מהי התשובה לחידה?

ממליץ לכם לחשוב לבד אם לא צפיתם\ן בסרטון.

פתרון החידה

ההיגיון הבריא מכתיב (לדעתי) את התשובה שרוב האנשים 'הנורמליים' (לדעתי) יחשבו עליה – שלושה סיבובים. התשובה לכאורה מסתמכת על הרעיון של צמיג וגלגול ללא החלקה. אם ההיקף של הכדור הגדול גדול פי 3 מההיקף של הכדור הקטן, אז הכדור הקטן יצטרך להסתובב שלוש פעמים סביב עצמו כדי להתקדם מרחק שהוא פי 3 מהיקפו.

הבעיה היא שהתשובה היא דווקא 4.

לא מאמינים?

אציג שתי המחשות שתוכלו לחזור עליהן בעצמכם\ן בבית. בכל ההמחשות שאראה השתמשתי בעיגולים ברדיוסים שווים מכיוון שקל יותר למצוא או לייצר כאלה וקל יותר לראות שני סיבובים במקום אחד שהיינו מצפים.

בהמחשה הבאה העיגול עם החץ מסתובב סביב העיגול עם הציור. יש לקרוא כקומיקס בכיוון השעון לפי סדר המספרים.

שימו לב שכבר בצעד 5 העיגול עם החץ ביצע סיבוב מלא סביב עצמו וחזר לאוריינטציה המקורית. בחזרה ל-1 הוא ישלים שני סיבובים סביב עצמו.

באופן זהה עם מטבעות:

איך זה יכול להיות?!

ההסבר התיאורטי הברור ביותר, לדעתי, הוא שיש לעקוב אחרי 'מרכז המסה' של העיגול שנע. הוא נמצא במרכז העיגול והוא החלק היחיד שלא מסתובב כלל ולכן לא מבלבל אותנו. שימו לב שאורך המסלול שצריכה לעבור נקודה זאת כדי לחזור לנקודת ההתחלה הוא אורך הקיפו של עיגול ברדיוס 4R סביב מרכז העיגול הגדול. ואם היא צריכה להתקדם 4R על ידי גלגול ללא החלקה של עיגול ברדיוס R אז הגיוני שהעיגול הקטן צריך להסתובב 4 פעמים סביב עצמו.

אבל מאיפה מגיע הסיבוב העודף אם מדובר בגלגול ללא החלקה?!

בכל המקרים שהראיתי קשה לראות או להבין מאיפה מגיע הסיבוב הנוסף. הסיבה לכך, לדעתי, היא שכל צעד בודד בסיבוב הוא אינפיניטסימלי קטן וקשה להבין כך מה קורה.

לכן החלטתי להמיר את העיגול במתומן משוכלל בעל שמונה צלעות ולעקוב אחרי כל צעד. גלגול ללא החלקה של מתומן אחד על השני (הזהה לו) דורש שצלע מספר 1 במתומן הראשון נוגעת בצלע מספר 1 במתומן שני, ובצעד הבא צלע 2 נוגעת בצלע 2, וכך הלאה. כאשר אנו שומרים שמתומן אחד נייח ומתומן שני מתגלגל על הדופן שלו 'ללא החלקה'.

ראשית נבדוק אם מערכת המתומנים בכלל מקיימת את התכונות הבסיסיות של מערכת העיגולים.

את ההמחשה הבאה יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים.

מתומן מתגלגל על רצפה ישרה באורך ההיקף של המתומן בגלגול ללא החלקה, כלומר מצלע 1 לצלע 1, 2 ל-2 וכך הלאה.

ניתן לראות שכדי שהמתומן יתגלגל לאורך מרחק ששווה להיקף שלו הוא צריך להשלים בדיוק סיבוב אחד סביב עצמו.

נבדוק מה קורה בגלגול של מתומן על מתומן.

להמחשה זאת היה לי נוח יותר לגלגל את המתומן כאשר אחד שוכב והשני בולט מהקרקע. גודלם של שני המתומנים זהה.

ועכשיו לגלגול.

כמו בדוגמאות הקודמות יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים, הפעם נגד כיוון השעון.

ניתן לראות שהמתומן המתגלגל משלים סיבוב מלא סביב עצמו כבר בצעד 5 באופן זהה לעיגולים. כשיגיע חזרה ל-1 ישלים שני סיבובים.

כעת כשהשתכנענו שמערכת המתומנים מתנהגת כמו מערכת העיגולים, בואו ונבחן מהי הזווית שבא צריך להסתובב המתומן המתגלגל סביב עצמו כדי להתקדם בצעד אחד.

ניתן לראות שבמקרה שבו המשטח עליו מתגלגלים ישר, הזווית שהמתומן המתגלגל צריך להסתובב עבור צעד אחד היא 45 מעלות. לעומת זאת, עבור משטח בצורה מתומן, המתומן המתגלגל צריך להסתובב סביב עצמו 90 מעלות, בדיוק פי 2! והנה לנו הסיבוב העודף שחיפשנו. לאורך כל המסלול נרוויח בדיוק סיבוב שלם נוסף.

מסקנה – כאשר מתגלגלים על משטח עקום, הוא 'בורח לנו כלפי מטה'. לכן כדי להגיע אליו בגלגול לא מספיק להתקדם, אלא צריך גם להסתובב באופן עודף לכיוון שהרצפה ברחה אליו.

העמקה

מי שאוהב מתמטיקה ורוצה להעמיק למבט רחב יותר יכול לחזור לשליש השלישי של הסרטון בתחילת הרשימה או למשל לצפות בסרטון הזה:

רקע

מה בעצם משתנה כאשר אתם מסובבים כפתור חוגה במכשיר חשמלי שאינו דיגיטלי? בחלק גדול מהמקרים זאת ההתנגדות החשמלית של נגד משתנה או בשמו הלועזי – פוטנציומטר. נגד חשמלי הוא פיסת חומר מוליך שמתנגד לזרימת מטענים חשמליים דרכו וממיר חלק מהאנרגיה שלהם לחום. במילים אחרות, חיבור נגד בעל ערך התנגדות חשמלית גבוהה יותר לספק מתח תגרום לזרם חשמלי נמוך יותר במעגל. התנגדות הנגד תלויה בממדים שלו בצורה די פשוטה. אם נחשוב על נגד כצינור שדרכו עובר זרם אז ככל שהוא ארוך יותר וצר יותר כך ההתנגדות שלו גבוהה יותר. השילוב של העובדה שנגד חשמלי הוא אחד הרכיבים הנפוצים במעגלים חשמליים עם העובדה שקל לייצר רכיב מכני שבו משתנה אורך הנגד על ידי סיבוב ידית הופכת את הפוטנציומטר –  הנגד המשתנה – לבחירה המועדפת כאשר אנחנו רוצים לשנות את הפעולה של מעגל חשמלי.

בואו ונצלול לתוך דוגמה ספציפית. נניח שאתם רוצים לבנות מעגל חשמלי שמייצר צליל. ראשית יש לבנות מעגל שמייצר גל מחזורי כלשהו ואז להעביר אותו דרך מגבר אודיו לרמקול, שהרי צליל באוויר נוצר (ונקלט) על ידי תנודה מחזורית של ממברנה. ברמקול יש ממברנה שמגיבה לאות חשמלי ולכן עלינו לספק לו אות חשמלי מחזורי בתדירות הרצויה. יש הרבה צורות לייצר מעגל כזה אבל המשותף לכולן הוא שהם יכללו משוב שלילי וטעינת קבל דרך נגד. קצב הטעינה של הקבל תלוי בערכי הקבל והנגד וכאשר המתח עליו גבוה המשוב השלילי ידאג להוריד את המתח ולהפך, כך שנקבל ביציאה של המעגל אות חשמלי שעולה ויורד בצורה מחזורית. תדירות האות תהיה תלויה בזמן הטעינה והפריקה של הקבל, כלומר בערכי הנגד והקבל שבחרנו (אלה שרלוונטיים לזמן הטעינה, במעגלים יש המון רכיבים…).

כעת יש לנו אות מחזורי שהולך למגבר אודיו ולרמקול וכך מופק צליל בתו מוזיקלי בודד. נרצה גם אפשרות לשנות את התדר. הדרך הפשוטה ביותר להשיג זאת היא להחליף את אחד הנגדים הרלוונטיים בפוטנציומטר – נגד משתנה – כך שסיבוב החוגה שלו תשנה את התדר שמפיק המעגל. אם נעשה את השינוי הפשוט הזה, אכן נקבל מעגל שמסוגל להפיק טווח של תדרים שתלוי בתכונות המעגל ובערכי הקבל והנגד המשתנה שבחרנו.

ומה אם אנחנו רוצים לשנות באופן מהיר את התדירויות, למשל על ידי לחיצה על מקשי מקלדת (כמו באורגנית), לשלוח סדרת תווים קבועה דרך סיקוונסר לקבלת לופ מוזיקלי קבוע או לשנות את הצליל ולהוסיף לו אפקטים כמו ויברטו (שינוי עדין של תדירות הצליל הלוך ושוב סביב התדר המקורי)? לצרכים אלו סיבוב ידני של חוגה כבר אינו מספיק טוב. הפתרון הוא לייצר מעגל שיגיב לשינויים של מתח במקום לשינויים פיזיים של צורת נגד. אז נוכל לשלוח אות בקרה חשמלי באיזה צורה שנרצה שיעצב את התווים כרצוננו. השינוי שנצטרך לבצע במעגל שתואר בפסקה הקודמת אינו גדול (מבחינה רעיונית, ברמת הביצוע הכל מסובך…) מתנד, או אוסילטור בלעז, שתדירותו נקבעת על ידי אות מתח חשמלי נקרא בעגה Voltage controlled oscillator, ובקיצור VCO, והוא הלב של כל סינטיסייזר אנלוגי, כמו אלה משנות ה-70 וה-80. כדי לקבל VCO מהמעגל הקודם שתיארתי כל שנדרש מאתנו הוא להחליף את הנגד המשתנה (הפוטנציומטר) בנגד נשלט מתח וזהו. מה שמביא אותנו חזרה לשאלה בכותרת הרשימה – איך לבנות נגד נשלט מתח.

אציג שתי גישות עיקריות שאני מכיר ליצירת נגד נשלט מתח.

גישה מספר 1 – שילוב של נורת לד (LED) ונגד רגיש לאור (LDR)

בגישה זאת נצמיד נורת לד (LED) פשוטה לרכיב שמשנה את התנגדותו בתגובה לכמות האור שהוא חשוף אליה (LDR). את שניהם נסגור במעטפת שתיצור תא אטום ללא אור כך שבתוכו מקור האור היחיד הוא הלד. כמות האור שיוצאת מהלד נשלטת על ידי כמות המתח החשמלי שנפעיל עליה. כאשר המתח נמוך, ההארה נמוכה והתנגדות הנגד גבוהה (בד"כ מגה-אוהמים). הפעלת מתח על הלד תגרום להארה ובכך לירידה משמעותית בהתנגדות של ה-LDR. ההתנגדות יכולה לרדת, בהארה גבוהה, לאוהמים בודדים. כלומר קיבלנו נגד משתנה שמגיב למתח במקום לסיבוב של ידית מכנית. את שתי הרגליים של הנגד נחבר במקום שבו היה מחובר הנגד המשתנה. את שתי הרגליים של הלד נחבר למעגל שליטה שיקבע את הרגישות של הרכיב, ועבורו יש גרסאות רבות אך כולן סטנדרטיות ופשוטות מאוד.

היתרון הגדול של שיטה זאת היא שהרכיב הזה פשוט מאוד להפעלה למי שיודע לבנות מעגלים חשמליים. היתרון השני הוא שאין צורך לקנות רכיב ייעודי. קל להרכיב את הרכיב לבד כי שני המרכיבים שלו הם די פשוטים ולא יקרים או נדירים במיוחד. אפשר לבנות להם קופסה או למשל לאפות אותם בתוך פימו (חומר מחנות יצירה שמתקשה בתנור) אבל אני בניתי כמה רכיבים כאלה על ידי הצמדה וליפוף שלהם בתוך איזולירבנד והם עבדו מספיק טוב.

למרות נוחות השיטה הזאת יש לה מספר חסרונות בולטים. העיקריים שבהם הם שהתגובה של הרכיב לשינויי מתח היא לא סימטרית והיא איטית מאוד באופן יחסי. הרכיב עובד די טוב כל עוד תדירות השינוי היא עד כ-10 או אולי 20 הרץ. מעל לכך נתחיל לקבל עיוותים של האות. בעיות אלה קשורות בתכונות הלד ובצימוד בין שני הרכיבים.

[הערת שוליים: בעיה נוספת שקשורה ספציפית לדרישות של VCO, שאני לא אעמיק בהן כאן, היא הצורך בתגובה אקספוננציאלית של המעגל לשינויי מתח. מכיוון שבמוזיקה הכפלה של תדר היא עלייה באוקטבה גם הכפלה של מתח השליטה צריכה להוביל להכפלה בתדר. המוסכמה בעולם הסינטיסייזרים האנלוגיים היא שהתגובה למתח צריכה להיות מכוילת כך שכל שינוי של 1 וולט במתח השליטה צריך להוביל לשינוי של אוקטבה בתדר, כלומר להכפלתו.]

גישה מספר 2 – טרנזיסטור כנגד נשלט מתח

כאן רמת הסיבוך עולה באופן משמעותי. אני אנסה לפשט את הדברים כמה שאפשר.

ראשית יש להסביר שיש הבדל בין המושג נגד חשמלי למושג התנגדות חשמלית. כפי שכבר ציינתי נגד הוא פיסת חומר מוליך שמתנגדת לזרימת זרם חשמלי דרכה. ככל שההתנגדות גבוהה יותר הזרם נמוך יותר תחת הפעלת מתח זהה. הקשר בין הזרם למתח על רכיב זה הוא ליניארי (קו ישר עם שיפוע קבוע) ומתואר בחוק אוהם: V=R*I. שימו לב שכשהמתח החשמלי על הנגד הוא אפס לא יזרום זרם ולהפך, אם לא זורם זרם דרך הנגד לא "נופל" עליו מתח (ולא מומרת עליו אנרגיה).

ההתנגדות של הנגד החשמלי, שמסומנת בחוק אוהם על ידי האות R, יכולה להיות מוגדרת בשתי דרכים שונות. אחת היא חלוקה של המתח בזרם והשניה קשורה לערך השיפוע של גרף הזרם כפונקציה של המתח (השיפוע הוא בעצם הנגזרת של הזרם לפי המתח, ההתנגדות היא אחד חלקי השיפוע). אם נחשוב על ערך השיפוע נשים לב ששיפוע גדול משמעו התנגדות נמוכה (שינויים קטנים במתח מייצרים שינויים גדולים בזרם) וההפך. על נגד, כפי שתיארתי, שתי ההגדרות מובילות לאותה תוצאה – R.

אבל ניתן להגדיר התנגדות גם לרכיבים שאינם נגדים, למשל לטרנזיסטור. מבלי להיכנס יותר מידי לעומק (כי זה נושא גדול ומורכב בפני עצמו) טרנזיסטור הוא רכיב עם שלושה טרמינלים. הזרם שיזרום דרך שניים מהטרמינלים תלוי במתח החשמלי על הטרמינל השלישי. במובן הזה הטרנזיסטור יכול לתפקד כמתג או כברז. מתח נמוך על טרמינל השליטה יסגור את ברז הזרם. מתח גבוה מספיק על טרמינל השליטה והברז נפתח. זאת הסיבה שהמחשב שלנו מלא בטרנזיסטורים שהרי "המוח" של המחשב הוא ג'ונגל של מתגים.

אבל הטרנזיסטור הוא יצור הרבה יותר מורכב ממתג פתוח או מתח סגור. בואו ונתבונן באיור סכמטי של גרף של זרם דרך הענף הראשי של הטרנזיסטור (יש זרמים משניים גם בין הטרמינלים האחרים) כפונקציה של המתח על טרמינל השליטה:

נשים לב שצורת הגרף היא אקספוננציאלית באזור שהוא במצב ביניים בין פתוח לסגור וליניארית במצב פתוח. אם נחשוב על התנגדות הטרנזיסטור במונחים של שיפוע הגרף נשים לב שההתנגדות החשמלית של הטרנזיסטור במצב זה תלויה במתח על טרמינל השליטה ולכן יכול לשמש כנגד נשלט מתח.

התפעול של טרנזיסטור במצב זה הוא לא פשוט. צריך באמת להבין מה קורה במעגל מכיוון שהטרנזיסטור הוא לא באמת נגד והוא תלוי בהמון פרמטרים והמון מתחים. בנוסף, גם סוג הטרנזיסטור משפיע באופן משמעותי על התפעול שלו, האם הוא סימטרי או לא סימטרי, וכהנה וכהנה. אבל השיטה הזאת היא הטובה ביותר למי שיודע מה הוא עושה והיא זאת שבה עשו שימוש בסינטיסייזרים האנלוגיים המסחריים.

סיכום

ברשימה זאת הצגתי שתי שיטות לייצר נגד נשלט מתח וניסיתי להסביר היכן יש צורך ברכיבים אלה (יש עוד שיטות. במצבים מסוימים גם דיודה יכולה לתפקד כנגד נשלט מתח ואולי יש עוד אפשרויות שאני לא מודע אליהן). לגבי השאלה בכותרת "למה זה טוב" אני לא בטוח שנתתי מענה. כיום בניית סינטיסייזרים אנלוגיים זה תחביב למשוגעים לדבר. ניתן כיום לתכנת או לקנות מוצרים דיגיטליים למחשב שרק האוזן הרגישה והמאומנת ביותר תוכל להבחין בהבדל. כמו כן הזמינות, הוורסטיליות וקלות ההפעלה גבוהים יותר לדעתי. אבל אני יכול להעיד באופן אישי שכשמשהו שבנית בעצמך מרכיבים בסיסיים עובד (גם אם באופן פשוט או מקרטע) נולדת הרגשה של סיפוק שקשה לקנות בכסף. בוודאי אם זה סופו של תהליך שמורכב מאינספור כישלונות וקשיים.

ראשית נתחיל בראשית, מהו בכלל קצר? אבל כדי להתחיל בראשית צריך בעצם להתחיל לפני בראשית כי יש מושגי יסוד שצריך לבאר.

מתח ופוטנציאל חשמלי

כאשר אנחנו אומרים שיש 220 וולט מתח בין שתי נקודות מה שאנחנו מתכוונים הוא שהעבודה שיש לבצע או האנרגיה שיש להשקיע כדי להביא "מטען חשמלי סטנדרטי" מנקודה סטנדרטית כלשהי לכל אחת מהנקודות שונה ב-220 ג'אול אנרגיה על כל יחידה. בעגה אנחנו אומרים שהפוטנציאל החשמלי של שתי הנקודות שונה ב-220 וולט. מתח חשמלי הוא הפרש של פוטנציאל חשמלי.

השורה התחתונה היא שאם נעביר "מטען סטנדרטי" בין שתי הנקודות נוכל להפיק 220 ג'אול אנרגיה על כל יחידת מטען שעוברת. נוכל לנצל אנרגיה זאת למשל לחימום טוסטר משולשים או להדלקת נורה. אגב, גם ההפוך הוא נכון. אם נרצה להעביר "מטען סטנדרטי" מאנרגיה נמוכה לגבוהה נצטרך להשקיע 220 ג'אול אנרגיה על כל יחידה.

קצר חשמלי

קצר חשמלי, בהגדרתו הרחבה, הפיזיקלית, הוא פעולה שמאלצת שתי נקודות במרחב להיות באותו פוטנציאל, כלומר במתח חשמלי אפס, בד"כ על ידי חיבור שתי הנקודות בחומר שהפוטנציאל עליו חייב להיות שווה כמו מוליך. למשל, אם נחבר שתי נקודות במרחב על ידי חוט זהב שמוליכותו החשמלית נמוכה מאוד, בקירוב אלקטרוסטטי הפוטנציאל בכל נקודה על המוליך שווה, ולכן המתח בין שתי הנקודות מאולץ להיות אפס (הפוטנציאל החשמלי זהה).

מה יקרה אם ננסה לאלץ את שתי הנקודות בשקע בקיר שנקבעו על ידי חברת החשמל להיות בפוטנציאלים שונים? נקבל קצר במובן או בפירוש העממי של המילה, כלומר שריפה. דרך התיל יזרום זרם עצום, הוא יתחמם ויותך. אך קצר לא חייב להסתיים בשריפה. למשל אם נקצר את שתי ההדקים של נורה בחוט מוליך היא לא תישרף, אלא דווקא תכבה. המתח החשמלי עליה מאולץ להיות אפס ולפי חוק אוהם לא יזרום דרכה זרם ולא יתפתח הספק חשמלי. או במילים אחרות, כל הזרם יעדיף לזרום דרך ההתנגדות הנמוכה של החוט המקצר ולא דרך הנורה עצמה.

קצר ללא קצר ומשולש האימה

ועכשיו אני מגיע לעניין. הכוונה שלי בליצור "קצר ללא קצר" היא לאלץ שתי נקודות במרחב להיות באותו פוטנציאל חשמלי (מתח אפס) מבלי לחבר ביניהן. כיצד נעשה זאת? יש לי רעיון. זרמו איתי והניחו, לפחות למספר דקות, לשאלה האם ניתן באמת לבנות את הרכיב שאותו אני מציע. אני אחזור לזה בהמשך. אקרא לרכיב החדש שאני מציע "משולש האימה" והוא רכיב חשמלי דמיוני בעל שתי כניסות ויציאה אחת. נסמן את שתי הכניסות ב- V+ ו- V- ואת היציאה ב-V_O לשם Out. כעת נגדיר חוק מתמטי שיגדיר את פעולת משולש האימה:

כלומר הרכיב מגביר פי אינסוף את ההפרש בין שני מתחי הכניסה. האם זה אפשרי? למה לא. זה לא סותר אף חוק פיזיקלי באופן ישיר, וממילא הרכיב דמיוני.

[הערת הבהרה – מכיוון שכל המתחים מוגדרים ביחס לאותה נקודת ייחוס במעגל, שלה נקרא נקודת האפס או אדמה, אין הבדל מהותי בין מתח לפוטנציאל]

אבל יש בכל זאת בעיה שיש לתת עליה את הדעת. אמנם ההגבר האינסופי לא סותר לדעתי חוק פיזיקלי באופן ישיר אך באופן עקיף הוא מייצר התנגשות עם שימור אנרגיה. הרי מהיכן מגיעה האנרגיה שמשמשת להגברה? למשל אם נכנס לרכיב אות סינוס עם אמפליטודה (משרעת) של 1 וולט ויצא גל סינוס עם אמפליטודה של 2 וולט ברור שהתווספה אנרגיה לאות החשמלי. מהיכן היא הגיעה? ממקור אנרגיה חיצוני, למשל חברת חשמל או סוללה. לכן גם אם מותר לי לקבוע הגבר אינסופי, אני מחויב שמתח היציאה של הרכיב יהיה סופי אחרת לא ברור מהיכן הגיעה כל האנרגיה.

אם כך, האם ניתן לאחוז את המקל בשני קצותיו ? האם יש דרך, ולו מתמטית תיאורטית, לשמר את ההגבר האינסופי אבל לקבל מתח יציאה סופי? אינסוף כפול משהו יכול להיות סופי רק אם נכפול אותו באפס (למטרות שלי זה מספיק מדויק). כלומר על הרכיב "משולש האימה" לדחוף ולמשוך זרמים במעגל כך שבכל רגע מתחי הכניסה משתווים זה לזה. אך שימו לב שאם זה מתקיים למעשה יצרנו "קצר" בין שתי נקודות הכניסה מכיוון שהן מאולצות להיות במתח זהה בכל רגע, גם אם הן כלל אינן מחוברות אחת לשנייה. לא באמת זורם זרם ישיר ביניהן. לתופעה הזאת נקרא "קצר וירטואלי" או במילים שלי "קצר ללא קצר".

אז למה זה טוב?

בואו ונבחן את המעגל החשמלי הבא:

שימו לב שמתואר פה בעצם פידבק, או לולאת משוב, כך מה שיוצא ממשולש האימה נכנס חזרה דרך הכניסה השלילית. איך להבין מה קורה פה? נבחן זאת בשתי דרכים שונות. הראשונה דרך הנחת העיקרון של הקצר הווירטואלי והשנייה באלגברה.

אם אנחנו מאמינים לעיקרון הקצר הווירטואלי של משולש האימה אז V₊ ו- V_– חייבים להיות שווים. מכיוון ש- V₊ מאולץ על ידי מתח חיצוני, מתח הכניסה, משולש האימה דוחף ומושך זרמים לפי הצורך כך שגם V_– יהיה שווה למתח הכניסה. אבל V_– מחובר למתח היציאה ולכן מתקיים שמתח היציאה שווה למתח הכניסה. נכנה את הקונסטרוקציה הזאת Buffer והיא מאוד מאוד שימושית בבניית מעגלי זרם. למה? כי מתח היציאה לא מעמיס על נקודת הכניסה. הוא מייצר את המתח שלו מהאנרגיה שהוא שואב ממתח האספקה ולכן לא מהווה צרכן על שאר המעגל. לדוגמה, נניח שאני רוצה למדוד מתח חשמלי בנקודה במעגל ולהעביר את המידע הלאה לתצוגה. במקרה זה עלול מעגל התצוגה להפוך בעצמו להיות צרכן במעגל המקורי ולשנות את הערך שניסינו למדוד. אם נשתמש ב-Buffer להעתקת המתח לאזור התצוגה מבלי לצרוך אנרגיה מהמעגל המקורי כך נוכל לבצע מדידה מבלי לשנות את המעגל הנמדד. האנרגיה להעתקת המתח הנמדד מגיעה ממקום אחר – ממתח האספקה.

נפתור שוב את מעגל ה-Buffer הפעם ללא הנחת קצר וירטואלי, אלא ישירות באלגברה:

כעת, מתוך התוצאה האלגברית, ניתן לראות תחת אלו תנאים ה-Buffer יתפקד היטב. צריך שהיחס אלפא לאחד ועוד אלפא ישאף לאחד וכדי שזה יתקיים לא באמת צריך אלפא אינסוף מספיק אלפא ששווה לאלף או לעשרת אלפים ומגבר הפרש כזה אנחנו יודעים לבנות בקלות. רכיב כמו משולש האימה עם הגבר הפרש של בין 1000 ל-10,000 הוא רכיב בסיסי ידוע ששמו "מגבר שרת" Operational amplifier. יש ממנו זיליון סוגים לזיליון שימושים שונים, אך התפקוד הבסיסי שלו הוא מה שתיארתי כאן.

בואו ונבחן עוד שתי דוגמאות שימחישו את טווח השימושים הרחב של מגבר השרת.

דוגמה 1: נגד בכניסה, נגד במשוב והכניסה החיובית באדמה

ננתח את המעגל לפי עיקרון הקצר הווירטואלי:

ניתן לראות שמתח היציאה שווה למתח הכניסה כפול קבוע כפלי שיכול להיות קטן, שווה, או גדול מ-1. כלומר נוכל להגביר או להחליש את המתח החשמלי לפי הצורך על ידי בחירה נכונה של הנגדים. שימו לב גם שיש היפוך סימן ביציאה (היפוך מופע של 180 מעלות). אם זה מפריע לנו, ניתן לארגן את המעגל מעט אחרת או לשרשר את המעגל פעמיים.

דוגמה 2: נחליף את נגד המשוב בקבל

שוב ננתח את המעגל לפי עיקרון הקצר הווירטואלי:

ניתן לראות שקיבלנו שמתח היציאה שווה לאינטגרל על מתח הכניסה כפול קבועים של המעגל. למעגל זה נקרא "אינטגרטור". נוכל בעזרתו, למשל, להפוך גל מרובע לגל משולש אם נחפוץ בכך ויש עוד המון שימושים למסנן זה (זהו גם Low pass filter, תלוי בתדירות ובערכים). ניתן להחליף בין הקבל לנגד ולקבל מעגל גוזר.

לסיכום – מגבר שרת זה אחלה. במיוחד למי שאף פעם לא למד ולא הבין איך לעבוד עם טרנזיסטורים BJT (כמוני…). אני לא יודע להסביר מדוע אבל השימוש במגברי שרת תמיד היה מובן יותר בעבורי ביחס לתכנון מעגל עם טרנזיסטורים BJT. כמובן שבתוך קופסת הקסם השחורה שנקראת "מגבר שרת" יש מספיק טרנזיסטורים לכולם, אבל במפעל כבר סידרו אותם בצורה שיותר נוחה לי להבין.

לחם ושעשועים

במחילה, הדימוי שבראשי לצריכת יומית של אקטואליה ברדיו, טלוויזיה ובאינטרנט (בחיים שלי היום אין הבדל מכיוון ששלושתם נצרכים באותה צורה דרך מחשב) היא של משאית איסוף זבל שמטה את הארגז האחורי שלה עלי. אני עומד תחת מפל שוצף של האשפה שנאספה באותו היום. אני מתעלם מחלק, חלק נוגע בי בחטף וחלק אני לוקח איתי. מה שבטוח הוא שאני חוזר הביתה מסריח. זה אינו מצב חדש, אם כי לרדיו ולטלוויזיה נוספו אתרי החדשות והלהג ברשתות החברתיות. ואינני צופה מהצד. אני בתוך זה כמו כולם.

ספקי המידע מחויבים לייצר כמויות עצומות של "תוכן" ולכן באופן טבעי הגבולות בין מידע לבידור מיטשטשים. אחת הדוגמאות לכך היא כתבות מסוג "אדם נשך כלב". משהו מוזר או מפתיע קרה איפשהו רחוק. הסיפור מסופר בבדיחות הדעת או בתדהמה מזויפת. הקהל מגחך או מצקצק, "איזה משוגעים יש בעולם הזה", ועוברים הלאה לסיפור הבא. לא מספיק חשוב לעשות "דאבל קליק".

בשנה האחרונה התפרסם בכל מקום סיפור שבו מהנדס פוטר מחברת גוגל בגלל שהפר הסכם סודיות ויצא בפרסום על כך שלדעתו תוכנת צ'אט שמבוססת על אינטליגנציה מלאכותית, שהוא היה חלק מצוות הבדיקה שלה, היא בעלת מודעות ("sentient"). כל אתר ועיתון שמכבד את עצמו רץ עם הסיפור. סביר להניח שהפרטים בכל כתבה היו זהים כי תוכן מסוג זה נוטים להעתיק שוב ושוב בגרסאות שונות ומשונות ממקור אחד או שניים.

כשראיתי את האייטם במקור אמרתי לעצמי "איזה משוגעים יש בעולם הזה", ועברתי הלאה לסיפור הבא. לא מספיק חשוב לעשות "דאבל קליק". אם הייתי עוקב אחרי כל שטות שמתפרסמת באינטרנט לא היה נותר לי זמן לחיות, להתפרנס, לעבוד, ליהנות. הרי זה בידור חינמי לרגע.

אבל מיהו אותו מהנדס? מה היה תפקידו בחברה? האם באמת הגיע למסקנה כפי שפורסמה? ואם כן, מדוע? האם הוא סתם משוגע, או שיש משהו מעניין מאחורי כל זה, גם אם הוא לא צודק?

עיקרון  החסד והצניעות

מה קורה לנו כאשר אנחנו מקשיבים לאדם שאנחנו לא מסכימים אתו? מה שרובנו עושים באופן אוטומטי (כן, גם אני) זה מניחים (גם אם לא במודע) שאותו אדם הוא כסיל מוחלט, שטיעוניו הם גבב של שטויות חסרות היגיון, כי הוא לא מבין כלום, ושאם הוא רק ישתוק לרגע וייתן לנו לדבר, אנחנו נסביר לו מדוע ואיך. אם אתם מרגישים שמה שתיארתי במשפט הקודם מוכר לכם אבל הוא בטוח לא אתם, חישבו שוב (כן, גם אתם).

כיצד נוכל להתעלות ולקיים דיון איכותי ומכבד עם בר פלוגתא? קצרה היריעה מלאסוף ולצטט את כל העצות ודברי החוכמה שנכתבו בנושא על ידי מומחים. במקום זה בחרתי להיעזר, לצטט ולסכם את חמשת העקרונות לדיון פוליטי שכתב חנוך דאום בטורו בידיעות אחרונות. לא אכפת לי אם הוא מומחה או לא מומחה בנושא.

חמשת העקרונות של דאום הם: 1) הפרדת האדם ממגזרו, 2) הבדילו בין האדם לבין דעותיו הפוליטיות, 3) אין שום סיכוי שהאמת כולה אצלי, 4) מצאו את ההיגיון בצד השני, 5) לתת יותר משקל למייסטרים ולא להתמקד רק באנשי הקצה של כל צד.

נשים לב ששני הסעיפים הראשונים עוסקים במה שנקרא בעגה "אד-הומינם" ושני הסעיפים הבאים עוסקים במה שאקרא לו עיקרון החסד והצניעות ובו אתמקד. הסעיף האחרון הוא דרכו של דאום לחבר את הכל לשיח המקוטב הנוכחי.

עיקרון החסד והצניעות (principle of charity), שלקוח מפילוסופיה ומרטוריקה, גורס שמכיוון שאיננו יכולים להיות בטוחים עוד לפני קיום הדיון שהצדק כולו אצלנו, וכדי לקיים דיון פורה, מעמיק ומכבד, עלינו לנסח את הפירוש הטוב והחזק ביותר האפשרי לדברים של הצד השני ולהתווכח אל מול גרסה זאת של הטיעונים. נשים לב שזהו ההפך המוחלט ממה שהצגתי בפסקה הראשונה של חלק זה של הרשימה וההפך מיצירת איש קש. שימו לב שאין זה אומר שעלינו להתפשר או להסכים עם הצד השני.

אני הייתי מוסיף שלושה תנאים נוספים עבור דיון פורה: א) ראשית מצאו על מה אתם מסכימים. זה משרה אווירה טובה. לא מסכימים על כלום, אפילו לא על העובדות? ותרו על הדיון. ב) החליטו במשותף מה נושא הדיון והשתדלו להישאר בגבולות שנקבעו. ג) הסכימו על שפה שמקובלת על שני הצדדים, כלומר מהו סגנון נאות וגם מהו טיעון נאות.

תפירת הקצוות ואסטרטגית יציאה

לפני כשלושה חודשים התראיין אותו מהנדס מגוגל שהזכרתי בחלק הראשון של הרשימה ב-SGU, פודקאסט ותיק בנושאי מדע, טכנולוגיה וחשיבה ביקורתית שהזכרתי בבלוג מספר פעמים בעבר. אני חושב שהריאיון שקיים איתו צוות הפודקאסט עמד בכל הקריטריונים שציינתי. כ-20-30 דקות, למיטב זכרוני, של שיחה מעמיקה ומכבדת. הצוות לא מסכים עם המסקנה שלו, אבל יש ניסיון אמיתי, לטעמי, לרדת לשורש הטיעונים, להבין וגם להתווכח. מסתבר ששני הצדדים מסכימים על לא מעט, גם אם לא על המסקנה הסופית. ניתן ללמוד מהריאיון מיהו אותו מהנדס, מה הרקע שלו (בהנדסה, תכנות, מדעי המוח ופילוסופיה), מה הוא באמת טוען ומה הטיעונים הטובים ביותר שלו כדי לתמוך בעמדתו. הוא לא טיפש או משוגע כמו שאתם חושבים, בין אם הוא צודק או לא.

באופן אישי, אני עדיין לא שם. לא קרוב אפילו. אבל הצבת יעדים זה דבר טוב לדעתי.

קישור לפרק (הריאיון הוא רק סגמנט אחד בפרק ויש למצוא אותו בתוך התכנית)

הפעם אני רוצה לספר על ספר מדע בדיוני שקראתי, אבל אתחיל בסוג של גילוי נאות שהוא סוג של דיסקליימר שהוא סוג של הסבר מדוע לכתוב על זה בבלוג שהנושא שלו הוא מדע. שהרי מדע בדיוני או ספרות ספקולטיבית אינם מדע אלא בדיון וספקולציה.

לא הייתי מגדיר את עצמי בתור קורא ספרות כ-"חובב מדע בדיוני". להרגשתי קראתי את הקלאסיקות. מיעוטן אהבתי (נניח לדוגמה חלק מהספרים בסדרת Dune של הרברט, ועוד), לא מעט שיעממו אותי מאוד (למשל Foundation של אסימוב) ומהרוב התעלמתי. אל הספר הזה הגעתי מקריאת סקירה\ביקורת במוסף הספרים בעיתון "הארץ", שם היה כתוב (בין היתר) משהו על מדע.

כלומר, אם אתם קוראים את הרשימה ומרגישים שהכותב אינו "שוחה בחומר" ואינו מעודכן במתרחש בעולם הספרות המד"בית, אתם צודקים. וממילא, זאת אינה ביקורת ספרות.

דבר חשוב נוסף לפני שאני מתחיל – בגלל אופי הספר כמעט כל פרט מהעלילה עלול לקלקל למישהו את חווית הקריאה ולכן אמנע מלעסוק בה באופן ישיר, פרט למה שמופיע בעמוד הראשון או אולי על גבי העטיפה.

***

"פרויקט הייל מרי" הוא ספר מאת אנדי וייר. לפי מה שכתוב על גבי העטיפה ובדף הויקיפדיה וייר הוא מהנדס תוכנה שכתב ספר מצליח שעובד לסרט המצליח ההוא עם מאט דיימון על מאדים, ומאז זנח את הינדוס התוכנה ועבר לכתיבה. זהו ספרו השלישי.

הסיבה העיקרית שבגינה אני ממליץ על הספר היא אהבת המדע שנשקפת ממנו. ניכר שמדע מעניין את הסופר וחשוב לו. מצפייה בסרט על מאדים וקריאה בספר החדש נראה שהמדע הבידיוני של וייר מתרחש בעתיד הקרוב מאוד וברובו מחויב למדע שאנחנו מכירים היום. הספר כולל תיאורים מפורטים של עשייה מדעית, כולל ביצוע ניסויים וירידה לפרטים, וגם מבט (אופטימי) על שיתוף פעולה מדעי בקהילה גדולה. נקודה נוספת לזכותו של הספר, עבורי, היא שמבליח בו מידי פעם מורה למדעים של ילדים צעירים.

עד היום לא נתקלתי, באופן אישי, בספר 'פיקשן' עלילתי (מדע בדיוני או בכלל) ששם דגש חזק כל כך על מדע וביצוע ניסויים, וכל זה משולב בסיפור סוחף למדי. מצד שני, הירידה לפרטים מדעיים עלולה להרתיע חלק מהקהל. וכאן אני חייב לצטט תגובה שהצחיקה אותי לכתבה מאתר "הארץ" (אין למי לתת קרדיט בתגובה המקורית, העתקתי מהאתר): "ספר משמים וטכנוקרטי, משחק מחשב לפתרון בעיות. אין דמויות, אין התחבטוית יש רק רצף אינסופי של הסברים מדעיים ופתרון בעיות הנדסיות. זה לא ספר זה קווסט." התגובה דרמטית, משעשעת ומוגזמת כיאות לטוקבק, אבל יש בה קורטוב של אמת. עם זאת יש להודות שרבים, כמוני, נהנו מהקריאה, גם אם קיצוץ של הטקסט היה משפר אותו לטעמי. לחתוך את אחד המשברים (הרבים) כדי לא לשבור את הקוראים.

אחד הדברים שהטרידו אותי במהלך הקריאה הוא שהספר כתוב כמו סרט. כתיבה דיבורית, מלאה בפאנץ'-ליינס (שורות מחץ?) ובסצנות שבבירור נועדו לקולנוע. כאלה שנועדו להפתיע, כולל בימוי ויזואל עם תזמון מדויק, וכאלה שנועדו לרגש. הוליוודי באופן בוטה. אם כך, לא מפתיע לקרוא שהזכויות לספר\סרט כבר נמכרו אפילו החל ליהוק כוכבים. כלומר, לטוב ולרע, זה אינו "החטא וענשו" ויש להגיע לקריאת הספר בראש מתאים. בנוסף, משיקולים דרמטיים יש צורך במספר מועט יחסית של דמויות ראשיות ולכן כל דמות היא אדם-על בעל יכולות אינסופיות. זה החלק הכי פחות אמין בספר, לטעמי, גם אם אני חושב שאני מבין את השיקולים.

הספר מכיל לא מעט tropes או קלישאות, כלומר טכניקות סיפוריות משומשות. אתן דוגמה אחת מהעמוד הראשון בספר. מישהו מתעורר במקום לא מוכר ואינו יודע מי הוא. המידע נמסר לאורך הספר בפלאשבקים בקצב שמתאים לסופר. ויש עוד כאלה. אבל לדעתי הסופר מצליח לקחת את זה למקום מעניין.

שתי הערות קצרות אחרונות: 1) אל תשכחו שבספר יש גם לא מעט מדע בדיוני. 2) גם אם אתם מוצאים טעות קטנה במדע, שחררו. העריכו את המאמץ לגבי כל הדברים שהוצגו נכון.

***

לסיכום: אני ממליץ על הספר ובמיוחד לבני נוער. עלילה סוחפת ומלאה ברעיונות מעניינים, כיאות למדע בדיוני, אך כזאת שגם מציגה מדע, אהבת מדע וביצוע מדע בצורה אמינה ככל שמאפשר הז'אנר. ווין-ווין. אולי ישלח כמה ילדים ללמוד מדעים. ווין-ווין-ווין.

כל המדידות שגויות. כולן.

וזה לא דבר רע. למעשה מה שהופך את המדע המדויק ל-*מדע מדויק* היא דווקא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה, בין אם בחישוב תיאורטי או במדידה במעבדה.

המשפט הראשון כה בסיסי וחזק כך שאפילו הוא בעצמו מכיל חוסר דיוק. המילה "שגיאה" מכילה בתוכה פנים רבות שאינן מיתרגמות היטב למילה שהתקבעה לשימוש בעברית ודורשות הקשר לשם הבנה. ברשימה זאת אנסה לעשות מעט סדר במושג ובצורה שהוא בא לידי ביטוי בניסויים.

אי-וודאות ולא שגיאה

לקחתי סרגל פשוט וללא סיבה חשובה מדדתי את רוחב הארנק שלי (ראו תמונה). שמתי את האפס של הסרגל בצד שמאל של הארנק וצדו הימני מקביל לסימון בין 95 ל-96 מילימטר על גבי הסרגל. אני רושם במחברת 96 מילימטר כי בעיניים שלי הסימון הזה יותר קרוב לקצה הארנק אבל אני לוקח בחשבון שכל ערך בטווח של כמילימטר אחד, המרחק בין שני סימונים עוקבים על גבי הסרגל, יכול להיות התשובה הנכונה. כלומר, אופי כלי המדידה שלי, במקרה זה הסרגל, מכתיב אי וודאות של כמילימטר אחד סביב כל מדידה. לכן הכוונה במקרה זה במונח "שגיאת המדידה היא 1 מילימטר" היא שבמדידה בסרגל ישנה אי-וודאות של 1 מילימטר בערך הנמדד. קרי, uncertainty ולא error. וזה נכון לכל מכשיר מדידה, מדויק ככל שיהיה.

מה יקרה אם אבצע את מדידת הרוחב של הארנק במהלך נסיעה באוטובוס מיטלטל? שגיאת הסרגל המובנית היא עדיין כשגיאת השֶׁנֶת הקטנה ביותר, אבל מכיוון שקשה לי לקרוא את הערך שמשתנה בכל רגע, אבחר להגדיל את הערכת אי-הוודאות מ-1 מילימטר ל-3 מילימטר. תוצאת המדידה לא השתנתה, שגיאת הסרגל לא השתנתה אבל הערכת אי-הוודאות שלי במדידה השתנתה. דיוק המדידה שלי נפגע בגלל האוטובוס אבל אני עדיין עושה מדע מדויק.

הכל יחסי

האם שגיאת הסרגל שלי (1 מילימטר) היא קטנה או גדולה? אני לא יודע לענות על השאלה הזאת. קטנה או גדולה ביחס למה?

אם אני אמדוד את האורך של דף A4, כ-300 מילימטר, שינוי של 1 מילימטר לפה או לשם הוא לא משמעותי. כלומר, אי הוודאות במדידה קטנה לעומת הערך הנמדד. לעומת זאת, אם אני אמדוד את רוחבה של נמלה, נניח כ-3 מילימטר, ערך אי-הוודאות כבר גדול מאוד ביחס לערך המדידה עצמה. לשם כך נגדיר את "השגיאה היחסית" שהיא ערך שגיאת המדידה בניסוי חלקי הערך הנמדד. שגיאה זאת היא גודל חסר יחידות.

נשים לב שהשגיאה היחסית משתנה בניסוי ממדידה למדידה ולכן יכולה להשפיע על החלטות שאני מקבל לגבי ביצוע הניסוי. למשל, אם אני מבצע ניסוי שבו אני תולה משקולות שונות על קפיץ ומודד את התארכותו עבור כל אחת מהן, אפשר לטעון שיש להעדיף משקולות כבדות על משקולות קלות מכיוון שהאורכים הנמדדים יהיו גדולים יותר ושגיאות המדידה היחסיות קטנות יותר. כלומר, דיוק המדידה בסרגל בניסוי עם משקולות כבדות יהיה גבוה יותר, גם אם לא תמיד שיקול זה יהיה משמעותי לניסוי הספציפי שמתבצע.

מלחמה באקראיות

מה יקרה אם ננסה למדוד כמה זמן לוקח למחוג השניות בשעון לעבור 5 שניות באמצעות הפעלת שעון עצר (סטופר)? התוצאה לא תהיה 5 שניות. גם מכיוון שאנחנו לא יודעים מה איכות השעון, אך בעיקר כי יש לנו זמן תגובה בהפעלת וכיבוי שעון העצר.

ומה יקרה אם נחזור על אותה המדידה מספר פעמים? בכל מדידה נקבל ערך אחר (שאינו 5 שניות). למעשה בכל מדידה שמבצעים יש אלמנט אקראי שאותו ניתן למזער אבל לא לבטל. זה נכון לכל מדידה, גם כאלה שהן חשמליות או מתבצעות על ידי מחשב.

את שגיאת המדידה הזאת מכנים "שגיאה אקראית". במילה "אקראית" הכוונה היא שיש סיכוי שווה שהערך הנמדד יהיה גבוה, שווה או נמוך לערך "האמיתי". הסיבות לשגיאות אלה הן בד"כ מרובות ולא כולן בשליטתנו. לצמצום השגיאות האקראיות במדידת אורך באמצעות סרגל, למשל, אפשר להימנע מלבצע מדידות בזמן נסיעה באוטובוס. אך גם לאחר שקיבלנו את המדידות היציבות ביותר שניתן לקבל, עדיין יהיו שגיאות אקראיות מטבע העולם שאנחנו חיים בו.

כיצד נתמודד עם שגיאות אלה?

במקרה של מדידת משך הזמן של 5 שניות אפשר למשל לחשב את ממוצע ערכי המדידות. מתוך הנחה שיש ערך קבוע שמתחבא מאחורי האקראיות במדידה ומתוך הנחה שאופי ההפרעה אקראי ולכן לפעמים "קופץ" למעלה ולפעמים למטה במידה שווה, חישוב הממוצע יבטל, במידה הטובה ביותר, את ההשפעות האלה.

מה ניתן לעשות אם מדובר בסדרה של מדידות בערכים משתנים ולא בערך אחד שחוזר על עצמו?

נחזור לניסוי של מדידת התארכות הקפיץ כתלות במשקולות שנתלו עליו. בכל שלב של הניסוי נשנה את מסת המשקולת התלויה ונמדוד את התארכות הקפיץ. כדאי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים ולחשב ממוצע, אך אפשר לעשות עוד. במקרה זה הקשר הפונקציונלי בין שני המשתנים ידוע לנו באופן תיאורטי – קשר ישר (ליניארי) לפי חוק הוּק. נוכל לשרטט גרף של התארכות הקפיץ כתלות במסת המשקולת ואז להעביר את הקו הישר הטוב ביותר בין הנקודות שהתקבלו (ראו איור). קו זה בעצם מבצע סוג של מיצוע על פני הנקודות השונות מתוך הנחה שחלקן גבוהות מידי וחלקן נמוכות מידי באופן אקראי. נוכל גם לתת למחשב לבצע את הפעולה טוב ומהר מאתנו.

השיטתיות שבשיטה

נניח שאנחנו מודדים את הקשר בין תאוצת גוף לבין הכוח שקול שפועל עליו. לפי החוק השני של ניוטון הקשר הוא ישר (ליניארי) והמקדם הוא מסת הגוף. שרטטנו גרף של התאוצה כפונקציה של הכוח והוא נראה כך:

האם אתם שמים לב לבעיה?

 אם נמשיך את הקו הישר לאזור שבו לא מדדנו הוא לא יחתוך את הצירים בנקודת הראשית. כלומר, לפי התוצאות הגוף בתאוצה אפס למרות שפועל כוח, בסתירה לחוק השני. מה יכולה להיות הבעיה?

סביר להניח שמד הכוח לא היה מאופס בתחילת המדידה והראה ערך גם כאשר לא הופעל עליו כוח. לכן כל מדידת כוח היתה גבוהה מהערך האמיתי באותה סטייה התחלתית וכל הגרף מוסט ימינה בערך הסטייה הזאת (כולל, כמובן, קו המגמה).

שגיאה כזאת נקראת "שגיאה שיטתית" ובה הסטייה מהערך האמיתי זהה בכל נקודה. כדי להתמודד עם בעיה כזאת ניתן לבצע שוב את המדידות לאחר איפוס מד הכוח. ניתן גם להסיט את הגרף כך שיחתור את הצירים בראשית, אם אנחנו מאמינים לתיאוריה. ואם כל מה שמעניין בניסוי הוא שיפוע הגרף, אז אין צורך בשום תיקון. שיפועו של גרף ישר לא מושפע על ידי שגיאה שיטתית. בפונקציונליות אחרת שאינה ליניארית יש להיזהר.

נבחן דוגמה קטנה

נרצה למדוד את זמן המחזור של מטוטלת (שעון עצר), שהיא משקולת תלויה על קצה חוט, כתלות באורך החוט (סרגל). ניסוי פשוט שכל אחד יכול לבצע בבית. הבעיה היא שזמן המחזור בניסוי נע בין ערכים של פחות משניה לשתי שניות (עבור אורך חוט בסביבות מטר). כלומר הזמן קצר מידי, וקרוב מידי לזמן התגובה. אחד הפתרונות הפשוטים יהיה למדוד 20 זמני מחזור ברצף ולחלק את התוצאה ב-20. כך הרווחנו שגיאה יחסית נמוכה באופן משמעותי, זמן מדידה ארוך ביחס לזמן התגובה וגם סוג של מיצוע. רצוי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים.

נשים לב שבניסוי זה אורכי חוט גדולים יותר מובילים לזמני מחזור ארוכים יותר. אם כך, כדי להקטין שגיאות יחסיות ולהגדיל את דיוק המדידה לכאורה נשאף לבצע את הניסוי באורכי חוט גדולים כמה שיותר. עם זאת, באופן מעשי מדידת 20 זמני מחזור (או יותר) ליבנה את בעיית מדידת הזמנים ומדידת אורכים הרלוונטיים לניסוי המטוטלת שהוצג לא קרובים למילימטרים בודדים. לכן בניסוי זה אפשר להתעלם מהשיקול הזה.

לסיכום – נקודות לארוז ולקחת הביתה

כל המדידות שגויות. כולן.

מה שהופך את המדע המדויק למדויק היא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה.

אי ודאות ולא שגיאה, uncertainty ולא error.

כל מה שהוצג ברשימה זאת הוא מה שנתפס על קוצו של המזלג. ניסיונאות היא מקצוע.